大约是十年前遇到的这个问题：[latex]x^2=2^x[/latex]，x 的解有哪些？

在 x 是实数的情况下很好办，……至少能画图估计出大概的值，不过徒手画而又不细心的话有可能会误认为有两个解。实际是三个：

$$\begin{cases}
x_1 = -0.766664695962123093111204422510…（很接近\frac{23}{30}）\\
x_2 = 2\\
x_3 = 4
\end{cases}$$

既是为了挑战，另外也是因为这个方程计算简单，我当时就想要计算一下复平面上的的情况。那时候我用的是 Excel，主要利用 Excel 的画图表功能目视出其他解，Excel 应该并不会直接在复域内运算，所以说这个方程比较简单还可以计算，太复杂就难办了。[latex]z^2[/latex] 无非就是像对待两个基向量一样对待实数和虚数，以下用 [latex](u + v i)[/latex] 来表示 z：

$$(u + v i)^2 = u^2 – v^2 + 2uv i$$

Excel 里只能这样去处理复数运算。至于 [latex]2^z[/latex]，首先应该换底为 [latex]e[/latex]，[latex]e[/latex] 的纯虚数次幂只改变辐角，绝对值始终是 1，实数次幂才能改变绝对值，而辐角不变。

$$2^z = e^{ln2 z}$$

根据棣莫弗公式这样就能在 Excel 上处理复域内的幂运算了。
我记得当时我可能找到了三对复数解，但是距离原点比较远超过预计，计算不太精确，也不确定，还记得通过画图证明对于这个方程，z 实部为负的时候除了上面的 [latex]x_1 = -0.76666…[/latex] 不存在其他解。
这些解都是共轭的，距离原点最近的复数解是：

$$\begin{cases}
u_1 = 7.6545064969779272…\\
v_1 = ± 11.9536789122631558…
\end{cases}$$

这些解大致分布在

$$v^2 = e^{\frac{u}{w}} – e^{\frac{4}{w}}$$

这条曲线上，其中 [latex]w = 1.4426950…[/latex]
确切地说是在这条曲线右边也就是

$$v^2 < e^{\frac{u}{2w}} - e^{\frac{4}{2w}}$$ 这边，同时又有： $$v > e^{\frac{u}{2w}} – e^{\frac{4}{2w}}$$

还是离第一条曲线近一点。其他解：

$$\begin{align}
z_2 & = 9.09072986074… & ± 21.50795035053… i\\
z_3 & = 10.03684857241… & ± 30.81806328298… i\\
z_4 & = 10.74672952594… & ± 40.03453628148… i\\
…
\end{align}$$